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Pensierino di agosto 2018:

Il mistero dei numeri primi

Un pensionato non ha molto di pių da fare che mettere in ordine le cose. Ma siccome mettere ordine nella propria vita o nei propri pensieri è molto pių faticoso che farlo tra gli oggetti di casa, va a finire che uno mette le pentole una dentro l'altra come tante matrioske, e quando ha finito l'esercizio anche coi coperchi attacca coi libri, se la loro quantità, come quella delle pentole e dei coperchi in casa nostra, è tale da meritare un impegno specifico. Uno dei giorni scorsi stavo perciò mettendo ordine nella libreria.

Tra le varie sezioni in cui, da buon impallinato della classificazione, avevo già suddiviso i libri, ce n'è una che contiene le pubblicazioni di carattere più o meno tecnico-scientifico divulgativo (esclusi quelli di carattere biologico/naturalistico che, come chi mi conosce ben sa, costituiscono una bella fetta della nostra biblioteca). Di altra letteratura di tutti i tipi ce n'è anche di più, perchè la lettura è una passione comune con Maddalena, vera divoratrice di narrativa di vario genere.

Tornando a bomba (avevo divagato come al solito) mi č capitato tra le mani uno dei libri (qualcuno ce n'č, e forse pių di qualcuno) che non avevo mai letto. Un libro di cui la sua scuola aveva fatto omaggio a Roberta 15 anni fa, con tanto di dedica, per la sua vittoria alle olimpiadi della matematica locali. E' un libro dalla presentazione attraente ma infido per l'edizione, che č in carta di riso estremamente sottile, e racchiude pių di 600 pagine nello spessore di un giallo di Camilleri. Fattosič che mi sono lasciato tentare alla lettura.

Il libro parla dei numeri primi, e qualcuno, me compreso, si chiederà come si possano scrivere 600 pagine sull'argomento. Non credo ci siano lettori del "pensierino" che non sappiano cos'č un numero primo, e non mi sforzo di spiegarlo agli eventuali altri, che sicuramente mi perdoneranno. Dopo le prime 20 pagine ho deciso che sarebbe stato uno di quei libri che non avrei mai finito di leggere, proponendomi un traguardo a dir tanto a pagina 60. Ma poi sono andato avanti. E sono arrivato alla fine (e non per una scommessa intellettuale, ma per il vero piacere della lettura).

Il pensierino non e' uno spot pubblicitario (almeno fino a quando qualcuno non sarà disposto a retribuirmi adeguatamente) e per questo neanche cito titolo ed autore. Ma è stata una lettura che mi ha colpito per molti aspetti, che mi faceva piacere condividere.

Intanto, leggendolo mi sono reso conto razionalmente di una cosa e che sta dentro di me: l'importanza dell'aver qualcosa in cui credere non per una qualche fede ispirata, ma perchč ritengo comune denominatore dell'intelligenza umana (e non solo umana). Al di là dei trucchi da baraccone dei "cavalli matematici" che andavano di moda a fine 800, è stato dimostrato che anche alcuni animali, vicini a noi come sviluppo cerebrale, sanno contare. Il che mi conferma nella convinzione che il concetto di "numero" sia in qualche modo universale.

Il fatto che la matematica di base sia ritenuta cosi' "banalmente vera" da chiunque abbia un minimo di cervello e di capacità di ragionamento spiega il perchč quando l'uomo ha voluto spedire un messaggio agli improbabili miliardi di diversi esseri intelligenti che popolerebbero l'Universo non ha spedito l'immagine del presepe o degli inchini verso la Mecca, ma i numeri ed i disegni geometrici che li rappresentano (oltre alla nona sinfonia di Beethoven, ma questa e' un'altra storia).

I numeri naturali (uno, due, tre etc.), la loro notazione, la possibilità di sommarli, sottrarli, moltiplicarli o dividerli sono stati l'accompagnamento naturale della storia della specie umana. E quando dopo i numeri naturali sono stati "scoperti" o "inventati", di volta in volta, i numeri relativi (positivi o negativi), i numeri razionali (le frazioni tipo "tre quarti") i numeri irrazionali (come la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato un metro), i numeri reali (insieme di tutti i precedenti) si è proseguito inventando nuovi concetti che risolvevano nuovi problemi, come i numeri immaginari (e già il nome la dice lunga sulla loro natura). Ma il libro, con naturalmente il supporto di tutte le nuove alchimie e scoperte del mondo matematico, si concentra pur sempre e solo sui numeri primi.

A questo punto, se pur forse in ritardo, sono necessari un warning ed un disclaimer (uso due termini inglesi per darmi un po' di tono): non sono un matematico, dirò delle cazzate e mi scuso preventivamente con due delle persone che mi sono care, che conoscono approfonditamente questi temi, e che potrebbero imbattersi in questo sproloquio e probabilmente, ben a ragione, avere di che ridire. Scusate Roberta e Maurizio. Andiamo avanti.

Una delle ragioni della piacevolezza del libro, al di là della sapienza narrativa dell'autore, è la commistione tra la teoria (rigorosa se pur nei suoi adattamenti divulgativi) e la narrazione storica e di costume del mondo incredibile e particolare dei matematici. Per quanto riguarda la teoria rigorosa, dopo le prime 100 pagine ho lasciato perdere. Dopo Gauss (ultimo approdo per cui la mia nave mentale fosse in qualche modo attrezzata), se avessi deciso di capire a fondo che cosa sia la funzione zeta di Riemann e perché l'ipotesi dello stesso Riemann fosse cosi' importante per la teoria dei numeri primi, avrei smesso di leggere immediatamente. Ma mi sono lasciato prendere dalla leggerezza del sorvolare le cose che non capivo, e di lasciarmi affascinare da quelle che capivo, o che per lo meno riuscivo ad intuire.

E capivo ad esempio quanto la storia e la politica avessero avuto (come hanno ed avranno) un ruolo cruciale nello sviluppo dell'intelligenza e della cultura umana. Come in poche settimane le teorie razziste di Hitler abbiano distrutto il tempio europeo della matematica (l'Universita' di Göttingen) trasferendo di fatto menti e potere in America, a Princeton che è tuttora la mecca dei matematici di tutto il mondo.

Capivo che l'eccellenza matematica talvolta confina con lo squilibrio mentale (per lo meno per il metro di noi comuni mortali). Capivo che anche un campo che sembra costruito per conferire certezze all'intelletto riserva trabocchetti che rendono incerta la certezza, e che pur basandosi su principi (assiomi) definiti ed immutabili, non riescono a dare risposta a tutte le domande che dalla manipolazione di questi assiomi possono derivare.

Proprio come in fisica (altro settore quasi esoterico della ricerca intellettuale umana) il principio di indeterminazione di Heisenberg ha distrutto la certezza dei meccanicisti e dei deterministi, i teoremi di Gödel hanno fatto piu' o meno la stessa cosa in matematica, lasciando chi sperava che almeno in una branca dell'intelletto umano tutti i problemi avrebbero potuto aver soluzione nella indeterminazione e nell'incertezza.

Ed uno dei "colpi di scena" è proprio la riunificazione, di cui il libro dà conto con la sua parte finale, dei due mondi: quello della "realtà intellettuale" dei numeri e quello della "realtà tangibile" dei fisici. Le due materie, che erano sempre state unite proprio dalla applicazione delle formule matematiche alla descrizione del comportamento del mondo reale, negli ultimi due secoli avevano cominciato a divergere, anche per un atteggiamento un po' snob di "purezza concettuale" dei matematici, che non hanno mai avuto bisogno della fisica per decretare le loro verità assolute. La teoria matematica si era percio' recentemente sviluppata in maniera quasi programmaticamente separata dalla fisica che anche lei, con la quantistica, ciaveva dato un bel taglio con le equazioni del moto che si studiano a Meccanica Razionale...

Ebbene, se pur in maniera per me meno comprensibile che intuibile, recentemente (il libro e' del 2003, quindi anche qui gli esperti mi perdoneranno) sono stati scoperti (forse sarebbe mmeglio dire "intuiti" o "ipotizzati") degli inaspettati punti di contatto tra la matematica dei numeri primi e la fisica quantistica (segnatamente tramite l'allineamento degli zeri della maledetta funziona zeta di cui non capirō mai i dettagli).

Un'altra cosa sicuramente affascinante (e che credo di aver in qualche modo compreso, anche se naturalmente in maniera non completa ed approfondita), è che a parte tutte le evoluzioni ed elucubrazioni di cui ho sproloquiato finora, i numeri primi, proprio loro, senza segno, senza frazioni, senza pigrechi, solo numeri della serie uno due tre e quattro, abbiano ancora misteri irrisolti, e grazie a questi misteri ricoprano una importanza fondamentale nella nostra società e tecnologia.

Duemilacinquecento anni fa Euclide dimostrò in maniera inconfutabile (come sempre nel caso di una dimostrazione matematica) che i numeri primi erano infiniti, e nel contempo diede anche un metodo, dati alcuni (o tutti) numeri primi, di costruirne altri. La storia degli "scopritori" (meglio sarebbe dire dei "calcolatori") di numeri primi si snocciola a suon di migliaia e di milioni, di miliardi e ben oltre. Il numero di cifre decimali dei più grandi numeri primi conosciuti oggi è da capogiro. Ma il mistero dei numeri primi sta pių in lā, ad ordini di grandezza che noi non riusciamo neanche ad immaginare.

E loro continuano a rimanere sfuggenti, restii ad ogni formula che tenti di acchiapparne il segreto. E guai a noi se qualcuno ci riuscisse. Come un terribile anatema pende sulla nostra testa una qualsiasi formula o metodo veloce, che potrebbe essere escogitato domani mattina (ma ancora non lo è stato) per fattorizzare i numeri (e cioè dato un numero non primo, trovare di quali fattori esso sia il prodotto). Se questa formula fosse scoperta domattina, domani pomeriggio sarebbe il caos informatico: tutti potrebbero vedere il mio conto corrente online (e questo sarebbe male) o leggere le e-mail confidenziali che Trump si scambia con Putin (e forse questo non sarebbe male).

Perché oggi la crittografia (questa parola compare qui per la prima volta non a caso, perché volevo l'effetto fuoco d'artificio finale) che rende segrete, impenetrabili a tutti coloro che non hanno il permesso di penetrarle, le informazioni scambiate in rete, si basa proprio sull'aritmetica dei numeri primi. Se domattina il matematico di turno si svegliasse con l'intuizione giusta per ridurre in maniera importante la complessità del problema della fattorizzazione l'intricato garbuglio indecifrabile di bit che attraversa la rete quando io compro su Amazon diventerebbe all'improvviso chiaro come i codici che i generali tedeschi usavano per inviare istruzioni ed ordini ultrasegreti ai loro contingenti militari durante la seconda guerra mondiale. Allora gli alleati, guidati dal grande (vorrei dire enorme non fosse per gli istintivi richiami alla forma fisica) matematico Alan Turing riuscirono a capire il modo di decifrare i messaggi originati dalla macchina "enigma" ed a decodificarli allegramente, giorno per giorno, contribuendo alla vittoria dell'esercito di liberazione.

Se qualcuno trovasse la scorciatoia per la fattorizzazione veloce dei numeri, il sistema di protezione dei segreti di Internet, come il diderottiano colosso coi piedi di argilla crollerebbe sotto il peso della sua immensa potenza. Speriamo che il segreto dei numeri primi resista ancora a lungo, almeno fino a quando avrò qualche soldo nel conto e non vorrò non solo che nessuno lo sappia, ma anche che nessuno se ne appropri indebitamente, come fortunatamente faceva Turing nel suo gabbiotto di decifrazione dei messaggi nazisti al fronte...

FG

Post Scriptum: Per la prima volta nella storia dei pensierini voglio fare una dedica. Intanto a Roberta, che ha meritato il libro che io ho sottratto e letto a sbafo. Non so neppure se lei l'ha letto, il libro. Ma, comunque, per lei sarebbero cose risapute.

Volevo dedicarlo anche a persone che non lo leggeranno mai: i miei ex-colleghi del gruppo di "Sicurezza delle reti" dei Laboratori di Telecom Italia. Il team fu formato 24 anni fa, come filiazione del gruppo di cui ero responsabile e che si occupava della rete Internet (nel 1994 in Italia Internet come la conosciamo oggi non esisteva, era solo una rete che collegava Universita' e centri di ricerca; sembra incredibile, ma se andate a cercare su un qualsiasi quotidiano dell'epoca la parola "Internet" semplicemente non esisteva). Allora l'intuizione che la sicurezza e la impenetrabilità dei dati che transitavano in rete fosse di enorme importanza non era cosa così banale come sembra oggi. Non esisteva certo Amazon, i siti delle banche online, le e-mail certificate. Allora qualsiasi comunicazione importante viaggiava via Telex o Fax. Credo sia stato, dal punto di vista della mia storia professionale, uno dei risultati più importanti che sono riuscito ad ottenere: convincere un top management che credeva che Internet fosse il nemico da combattere a creare un nucleo di esperti per renderla un luogo sicuro. Ringrazio i colleghi che mi hanno ficcato in testa col martello pneumatico i concetti di crittografia a chiave pubblica, il famigerato algoritmo RSA, che hanno poi studiato quella a curve ellittiche (di cui anche il libro parla), e che oggi vigilano sulla diffusione dei virus e dei malware sui cellulari e sulle reti della più importante compagnia di telecomunicazioni italiana.


dedica ROby

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